Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 91, 92 sgk Hình Học 11

Xem thêm

Mời các em cùng tham khảo tài liệu giải bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 nội dung Bài 1: Vectơ trong không gian trong sgk Hình học 11 ở bài viết hôm nay, TaiGameMienPhi VN hi vọng sẽ giúp được các em trong việc hoàn thành bài tập mà thầy, cô giao về nhà.

Các em cùng TaiGameMienPhi VN sẽ cùng nhau giải tập tại trang 91 và 92 trong sách giáo khoa Hình học lớp 12, áp dụng lý thuyết về Vectơ trong không gina, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết các bài toán từ dễ tới khó nha.

Giải bài tập Toán 11 bài Vectơ trong không gian.

Giải bài 1 trang 91 sgk Hình học 11.

a) Các véctơ có các điểm đầu là các điểm (I, K, L, M) và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ mà cùng phương với (overrightarrow{IA}) là: (overrightarrow{IA’}), (overrightarrow{KB}), (overrightarrow{KB’}), (overrightarrow{LC}), (overrightarrow{LC’}), (overrightarrow{MD}), (overrightarrow{MD’}).

b) Các véctơ có các điểm đầu là các điểm (I, K, L, M) và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ mà cùng hướng với (overrightarrow{IA}) là: (overrightarrow{KB}), (overrightarrow{LC}), (overrightarrow{MD}).

c) Các véctơ có các điểm đầu là các điểm (I, K, L, M) và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ mà ngược hướng với (overrightarrow{IA}) là: (overrightarrow{IA’}), (overrightarrow{KB’}), (overrightarrow{LC’}), (overrightarrow{MD’}).

Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 11.

a) Ta có: (overrightarrow {B’C’} = overrightarrow {BC} ;overrightarrow {DD’} = overrightarrow {CC’} )

(overrightarrow{AB}) + (overrightarrow{B’C’}) + (overrightarrow{DD’})

= (overrightarrow{AB}) + (overrightarrow{BC}) + (overrightarrow{CC’})

(= overrightarrow {AC} + overrightarrow {CC’} )

= (overrightarrow{AC’});

b) (overrightarrow{BD}) – (overrightarrow{D’D}) – (overrightarrow{B’D’})

= (overrightarrow{BD}) + (overrightarrow{DD’}) + (overrightarrow{D’B’})

( = overrightarrow {BD’} + overrightarrow {D’B’} )

= (overrightarrow{BB’});

c) Ta có: (BA’D’C) là hình bình hành ( Rightarrow overrightarrow {BA’} = overrightarrow {CD’} )

(BDD’B’) là hình bình hành ( Rightarrow overrightarrow {DB} = overrightarrow {D’B’} )

(AB’C’D) là hình bình hành ( Rightarrow overrightarrow {C’D} = overrightarrow {B’A} )

(overrightarrow{AC}) + (overrightarrow{BA’}) + (overrightarrow{DB}) + (overrightarrow{C’D})

= (overrightarrow{AC}) + (overrightarrow{CD’}) + (overrightarrow{D’B’}) + (overrightarrow{B’A})

( = overrightarrow {AD’} + overrightarrow {D’B’} + overrightarrow {B’A} )

(= overrightarrow {AB’} + overrightarrow {B’A} )

= (overrightarrow{0}).

Giải bài 3 trang 91 sgk Hình học 11.

Gọi (O) là tâm của hình bình hành (ABCD), ta có (O) là trung điểm của (AC) và (BD). Khi đó:

(left{ matrix{overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = 2overrightarrow {SO} hfill cr overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} = 2overrightarrow {SO} hfill cr} right.)( Rightarrowoverrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD},,left( {dpcm} right))

Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 11.

a) (overrightarrow{MN}=overrightarrow{MA}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{DN}.)

(overrightarrow{MN}=overrightarrow{MB}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{CN}.)

Cộng từng vế ta được:

(begin{array}{l}
2overrightarrow {MN}
= left( {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} } right) + left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} } right) + left( {overrightarrow {DN} + overrightarrow {CN} } right)
end{array})

Do (M,N) là trung điểm của (AB,CD) nên (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} = overrightarrow 0 ) và (overrightarrow {DN} + overrightarrow {CN} = overrightarrow {DN} + overrightarrow {ND} = overrightarrow 0 )

(Rightarrow 2overrightarrow {MN} = overrightarrow 0 + left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} } right) + overrightarrow 0 ) (= overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} )

(Rightarrow overrightarrow{MN}=dfrac{1}{2}left ( overrightarrow{AD}+overrightarrow{BC} right ))

(eqalign{
& overrightarrow {MN} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {CN} cr
& overrightarrow {MN} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {BD} + overrightarrow {DN} cr} )

Cộng từng vế ta được:

(begin{array}{l}
2overrightarrow {MN}
= left( {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} } right) + left( {overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} } right) + left( {overrightarrow {CN} + overrightarrow {DN} } right)
= overrightarrow 0 + left( {overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} } right) + overrightarrow 0
= overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD}
end{array})

(Rightarrow overrightarrow{MN}=dfrac{1}{2}left ( overrightarrow{AC}+overrightarrow{BD} right ).)

Giải bài 5 trang 92 sgk Hình học 11.

a) Lấy điểm (G) sao cho (overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=overrightarrow{AG})

( Rightarrow ) (G) là đỉnh của hình bình hành (ABGC). Ta có:

(overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AE} ) (Leftrightarrow overrightarrow {AG} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AE} )

(Rightarrow) (E) là đỉnh của hình bình hành (ADEG).

Hay (AE) là đường chéo của hình hộp có ba cạnh (AB,AC,AD).

b) Ta có

(begin{array}{l}
overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} – overrightarrow {AD} = overrightarrow {AF}
Leftrightarrow overrightarrow {AG} – overrightarrow {AD} = overrightarrow {AF}
Leftrightarrow overrightarrow {DG} = overrightarrow {AF}
end{array})

(Rightarrow) (F) là đỉnh của hình bình hành (ADGF).

Giải bài 6 trang 92 sgk Hình học 11.

Theo quy tắ ba điểm ta có:

(left{ begin{array}{l}
overrightarrow {DA} = overrightarrow {DG} + overrightarrow {GA}
overrightarrow {DB} = overrightarrow {DG} + overrightarrow {GB}
overrightarrow {DC} = overrightarrow {DG} + overrightarrow {GC}
end{array} right.)

(eqalign{& Rightarrow overrightarrow {DA} + overrightarrow {DB} + overrightarrow {DC} cr & = overrightarrow {DG} + overrightarrow {GA} + overrightarrow {DG} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {DG} + overrightarrow {GC} cr & = 3overrightarrow {DG} + underbrace {left( {overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} } right)}_{overrightarrow 0 } cr & = 3overrightarrow {DG} cr} )

(Do (G) là trọng tâm tam giác (ABC) nên (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {DC} = overrightarrow 0 )).

Giải bài 7 trang 92 sgk Hình học 11.

(overrightarrow{IA}+overrightarrow{IB}+overrightarrow{IC}+overrightarrow{ID}=overrightarrow{0};)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} = 2overrightarrow {MI} ) với (M) là điểm bất kì trong không gian và (I) là trung điểm của (AB).

Lời giải chi tiết:

(overrightarrow{IA}+overrightarrow{IC}=2overrightarrow{IM},) (Vì M là trung điểm của AC)

(overrightarrow{IB}+overrightarrow{ID}=2overrightarrow{IN}.) (Vì N là trung điểm của BD)

Cộng từng vế ta được:

(overrightarrow {IA} + overrightarrow {IC} + overrightarrow {IB} + overrightarrow {ID} ) (= 2left( {overrightarrow {IM} + overrightarrow {IN} } right) = overrightarrow 0 )

(Vì (I) là trung điểm của (MN))

Giải bài 8 trang 92 sgk Hình học 11.

(eqalign{& overrightarrow {B’C} = overrightarrow {B’A’} + overrightarrow {A’A} + overrightarrow {AC} cr &= – overrightarrow {AB} – overrightarrow {AA’} + overrightarrow {AC} cr &= – overrightarrow b – overrightarrow a + overrightarrow c cr & overrightarrow {BC’} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {AA’} + overrightarrow {A’C’} cr & = – overrightarrow {AB} + overrightarrow {AA’} + overrightarrow {AC} cr &= – overrightarrow b + overrightarrow a + overrightarrow c cr} )

Nhận xét: Ba véctơ (overrightarrow{a}; overrightarrow{b}; overrightarrow{c}) ở trên gọi là bộ ba véctơ cơ sở (dùng để phân tích các véctơ khác).

Cách khác:

(begin{array}{l}
overrightarrow {B’C} = overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB’}
= overrightarrow {AC} – left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {BB’} } right)
= overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB} – overrightarrow {BB’}
= overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB} – overrightarrow {AA’}
= overrightarrow c – overrightarrow b – overrightarrow a
overrightarrow {BC’} = overrightarrow {AC’} – overrightarrow {AB}
= overrightarrow {AA’} + overrightarrow {A’C’} – overrightarrow {AB}
= overrightarrow {AA’} + overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB}
= overrightarrow a + overrightarrow c – overrightarrow b
end{array})

Giải bài 9 trang 92 sgk Hình học 11.

Biểu diễn (overrightarrow {MN} ) qua hai véc tơ (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {SC} ):

Ta có:

( overrightarrow {MN} = overrightarrow {MS} + overrightarrow {SC} + overrightarrow {CN} )(= {2 over 3}overrightarrow {AS} + overrightarrow {SC} + {2 over 3}overrightarrow {CB} ,,,,,,,,,left( 1 right) )

(overrightarrow {MN} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {AB} + overrightarrow {BN})( = – {1 over 3}overrightarrow {AS} + overrightarrow {AB} – {1 over 3}overrightarrow {CB} ,,,left( 2 right) )

Nhân (2) với (2) rồi cộng với (1) ta được:

(3overrightarrow{MN}) = (overrightarrow{SC}) + (2overrightarrow{AB}) (Leftrightarrowoverrightarrow{MN}= frac{1}{3}overrightarrow{SC}+frac{2}{3}overrightarrow{AB}.)

Vậy (overrightarrow{AB}), (overrightarrow{MN}), (overrightarrow{SC}) đồng phẳng.

Giải bài 10 trang 92 sgk Hình học 11.

(I=BHcap DF) là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành (BDHF) do đó (I) là trung điểm của (BH).

(K) là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành (ADHE) do đó (K) là trung điểm của (AH).

(Rightarrow KI) là đường trung bình của tam giác (ABH).

(Rightarrow KI//AB Rightarrow KI//(ABCD)) (1)

Ta có: (BCGF) là hình bình hành

(Rightarrow FG//BC Rightarrow FG//(ABCD)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: các véctơ (overrightarrow{KI}), (overrightarrow{FG}) song song với mặt phẳng ((ABCD)) chứa véctơ (overrightarrow{AC})

Vậy (overrightarrow{AC}), (overrightarrow{KI}), (overrightarrow{FG}) đồng phẳng.

Mời các em xem tiếp lời Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 trang 97, 98 sgk Hình Học 11 ở đây. Chúc các em học tốt!