Khai triển Taylor và ứng dụng | Học toán online chất lượng cao 2021

Xem thêm

Bài viết này TaiGameMienPhi xin giới thiệu đến bạn đọc lý thuyết và ví dụ minh hoạ có lời giải chi tiết về Khai triển Taylor dùng để xấp xỉ hàm số bởi một đa thức

Video khai triển taylor

Khai triển Taylor đối với đa thức

Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a.

Hãy xác định một đa thức $y = P_n(x)$ bậc n mà giá trị của nó tại x = a bằng giá trị f(a) và giá trị của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng của hàm số f(x) tại điểm đó. Nghĩa là:

$P_n(a) = f(a) ; P_{n}^{'}(a) = f'(a);...; P_{n}^{(n)}(a) = {{f}^{(n)}}(a)$ (1)

Ta hy vọng sẽ tìm được một đa thức như thế trong một ý nghĩa nào đó “gần” với hàm số f(x).

Ta sẽ xác định đa thức đó dưới dạng một đa thức theo lũy thừa (x – a) với các hệ số cần xác định:

${{P}_{n}}(x)={{C}_{0}}+{{C}_{1}}.(x-a)+{{C}_{2}}.{{(x-a)}^{2}}+...+{{C}_{n}}.{{(x-a)}^{n}} qquad$ (2)

Các hệ số $C_0, C_1, C_2, ..., C_n$ được xác định sao cho điều kiện (1) được thỏa mãn.

Trước hết, ta tìm các đạo hàm của $P_n(x)$ :

$left{ begin{array}{l} P_{n}^{'}(x) = C_1 + 2C_2(x-a) + 3C_3.{(x-a)}^2 + ... + nC_n{(x-a)}^{n-1} \ P_{n}^{''}(x) = 2C_2+3.2C_3.(x-a) + ... + n(n-1)C_n{(x-a)}^{n-2} \ .................................................................................. \ P_{n}^{(n)}(x) = n(n-1)...2.1.C_n \ end{array} right.$ (3)

Thay x = a vào các biểu thức (2) và (3) ta có:

$left{begin{array}{l} P_n(a) = C_0 \ P_n^{'}(a) = C_1 \ P_n^{''}(a) = 2.1.C_2 \ text{....................................} \ P_n^{(n)}(a) = n.(n-1)...2.1C_n \ end{array} right.$

So sánh với điều kiện (1) ta có:

$left{ begin{array}{l} f(a)={{C}_{0}} \ f'(a)={{C}_{1}} \ f''(a)=2.1.{{C}_{2}} \ ....................... \ {{f}^{(n)}}(a)=n.(n-1)...2.1.{{C}_{n}} \ end{array} right.$ $Rightarrow left{ begin{array}{l} {{C}_{0}}=f(a) \ {{C}_{1}}=f'(a) \ {{C}_{2}}={ dfrac{1}{2!}}.f''(a) \ ....................... \ {{C}_{n}}={ dfrac{1}{n!}}.{{f}^{(n)}}(a) \ end{array} right.$ (4)

Thay các giá trị của $C_0, C_1, C_2, ..., C_n$ vào công thức (2) ta có đa thức cần tìm:

$begin{array}{r}P_n(x) = f(a) + { dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a) + { dfrac{f''(a)}{2!}}(x-a)^2 + { dfrac{f'''(a)}{3!}}(x-a)^3 + \ ... + { dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^n \ end{array}$

Ký hiệu bằng $R_n(x)$ , hiệu giữa giá trị của hàm số đã cho f(x) và đa thức mới lập $P_n(x)$ (hình vẽ): ${{R}_{n}}(x) = f(x) - {{P}_{n}}(x)$

Hay:

$R_n(x)$ gọi là số hạng dư – đối với những giá trị x làm cho số hạng dư $R_n(x)$ bé, thì khi đó đa thức $P_n(x)$ cho biểu diễn gần đúng của hàm số f(x).

Do đó, công thức (6) cho khả năng thay hàm số y = f(x) bằng đa thức $P_n(x)$ với độ chính xác tương ứng bằng giá trị của số hạng dư $R_n(x)$

Ta sẽ xác định những giá trị x để số hạng dư $R_n(x)$ khá bé .

Viết số hạng dư dưới dạng: ${{R}_{n}}(x) = { dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}Q(x)$ (7)

Trong đó Q(x) là hàm số cần phải xác định.

Với x và a cố định, hàm số Q(x) có giá trị xác định, ký hiệu giá trị đó bằng Q.

Ta xét, hàm số phụ theo biến t (t là giá trị nằm giữa a và x) :

$begin{array}{r}F(t) = f(x) - f(t) - { dfrac{x-t}{1!}}f'(t) - { dfrac{(x-t)^2}{2!}}f''(t) - ... \ - { dfrac{(x-t)^n}{n!}}f^{(n)}(t) - { dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}Q \ end{array}$ (8)

Tìm đạo hàm F’(t) :

$begin{array}{l} {F}'(t)=-{f}'(t)+{f}'(t)-{ dfrac{(x-t)}{1}}{f}''(t)+{ dfrac{2(x-t)}{2!}}{f}''(t) \ qquad -{ dfrac{{{(x-t)}^{2}}}{2!}}{f}'''(t)+...-{ dfrac{{{(x-t)}^{n-1}}}{(n-1)!}}{{f}^{(n)}}(t)+{ dfrac{n{{(x-t)}^{n-1}}}{n!}}{{f}^{(n)}}(t) \ qquad -{ dfrac{{{(x-t)}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(t)+{ dfrac{(n+1){{(x-t)}^{n}}}{(n+1)!}}Q \ end{array}$

Rút gọn lại ta được :

$F'(t)=-{ dfrac{{{(x-t)}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(t)+{ dfrac{(n+1){{(x-t)}^{n}}}{(n+1)!}}Q qquad$ (9)

Vậy hàm số F(t) có đạo hàm tại mọi điểm t gần điểm có hoành độ a.

Ngoài ra, từ công thức (8) ta có : F(x) = 0 và F(a) = 0.

Vì vậy, áp dụng công thức Rolle cho hàm số F(t) , tồn tại một giá trị $t = xi$ nằm giữa a và x sao cho $F'(xi) = 0$

Thế vào (9) ta có : $F'(xi )=-{ dfrac{{{(x-xi )}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(xi )+{ dfrac{(n+1){{(x-xi )}^{n}}}{(n+1)!}}Q$

Suy ra : $Q = f^{(n+1)}(xi)$

Thay biểu thức này vào công thức (7) ta được :

${{R}_{n}}(x) ={ dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}(xi )$ – số hạng dư Larange

Vì $xi$ là giá trị nằm giữa a và x, nên nó có thể viết dưới dạng: $xi = a + {theta}(x-a) , theta in [0 ;1]$

Nghĩa là : $R_n(x) = { dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}[a+{theta}(x-a)]$

Công thức:

$begin{array}{r} f(x)=f(a)+{dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a)+{ dfrac{f''(a)}{2!}}{{(x-a)}^{2}}+{ dfrac{f'''(a)}{3!}}{{(x-a)}^{3}}+...\ +{ dfrac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!}}{{(x-a)}^{n}} +{ dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}[a+theta (x-a)] \ end{array}$ – gọi là công thức khai triển Taylor (Taylor expansion) của hàm số f(x).

Nếu trong công thức Taylor, đặt a = 0 thì nó viết dưới dạng:

$begin{array}{r} f(x) = f(0)+{ dfrac{x}{1!}}f'(0) + { dfrac{{{x}^{2}}}{2!}}f''(0) + { dfrac{{{x}^{3}}}{3!}}f'''(0) + ... + { dfrac{{{x}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n)}}(0) \ + { dfrac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}(theta x) , qquad theta in [0;1] \ end{array}$

là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x = 0, với số dư $R_n(x)$ – được gọi là công thức khai triển Maclaurin (Maclaurin expansion).

Tóm lại, ta có định lý sau:

Nếu hàm số y = f(x) có các đạo hàm $f'(x) , f''(x) , ... , f^{(n)}(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ và có đạo hàm $f^{(n+1)}(x)$ trong lân cận của $x_0$ thì tại lân cận đó ta có công thức khai triển:

$begin{array}{r} f(x) = f({{x}_{o}}) + { dfrac{f'({{x}_{o}})}{1!}}(x-{{x}_{o}}) + { dfrac{f''({{x}_{o}})}{2!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{2}} + ... \ + { dfrac{{{f}^{(n)}}({{x}_{o}})}{n!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{n}}+{ dfrac{{{f}^{(n+1)}}(c)}{n!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{n+1}} \ end{array}$

(c ở giữa $x_0$ và x, $c = x_0+ a(x-x_0), 0 < a <1$ )

Công thức này gọi là công thức khai triển Taylor cấp n, số hạng của cùng gọi là số hạng dư của nó. Đặc biệt $x = 0$ thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin (công thức khai triển tại lân cận $x_0 = 0$ ):

$begin{array}{r} f(x) = f(0) + { dfrac{f'(0)}{1!}}x + { dfrac{f''(0)}{2!}}{{x}^{2}} + ... + { dfrac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}}{{x}^{n}} + { dfrac{{{f}^{(n+1)}}(theta x)}{n!}}{{x}^{n+1}}, \ qquad (0<{theta}<1) \ end{array}$